Bijles Schoolvakken
Delen

Het Belang van Pi in Wiskunde

Vertaald door Boris, gepubliceerd op 30/07/2018 Blog > Bijles > Waarom Pi en de Pi Cijfers een Grote Rol Spelen in de Wereld

Ten eerste, waarom Pi?

Het wiskundige teken voor Pi, ‘π’, is een Griekse letter, afkomstig van de eerste letter van de Griekse woorden “περιφέρεια”, dat periferie betekent en “περίμετρος”, dat perimeter betekent. Zowel periferie en perimeter verwijzen naar de omtrek van een object.

Het eerste bekende gebruik van het symbool was door de wiskundige William Outright in 1647, maar het cijfer werd pas echt bekend bij het grotere publiek in 1748 door Leonard Euler in zijn boek ‘Introductie van de analyse van het oneindige’.

Wiskundig gezien wordt Pi gebruikt om het volume van een cilinder te berekenen of de omtrek van een vlak of cirkel.

Dus waarom al die fascinatie met Pi?

Eerst zullen we een kijkje nemen naar de geschiedenis van Pi en vervolgens praten we over de ontdekkingen van de decimalen van Pi. We zullen zien dat Pi zowel een irrationeel getal is als een normaal getal en een transcendent getal. We zullen afsluiten met enkele mysteries rondom het getal Pi.

Zelfs als je niet van wiskunde, algebra, trigonometrie, Gauss, Thales, Pythagoras en dat soort theorieën houdt, kan ik je verzekeren dat ergens in dit artikel alles op zijn plaats zal vallen!

Om een echte expert in Pi te worden en alles te weten te komen dat het getal je kan leren over wiskunde, is het enige wat je hoeft te doen dit artikel te lezen!

Wat is Pi?

Als tegenwoordig de krachtigste computers tot 13 triljoen decimalen achter Pi kunnen achterhalen, kun je je voorstellen dat dit niet altijd het geval was.

Sinds de oudheid hebben studenten en wiskundigen zich laten fascineren door Pi en hebben mensen lang en hard gezocht naar een waarde die zo representatief mogelijk is.

  • 1680 voor Christus: de oudste waarde van Pi wordt gevonden in een werk van de Babyloniërs. Zij zouden gezocht hebben naar een mogelijkheid om de perimeter van een cirkel te vergelijken met die van een zeshoek. De gemiddelde waarde van Pi in die tijd was 3 + 1/8 = 3,125.
  • 1650 voor Christus: Rhind’s Wiskundige Papyrus werd gevonden in 1855 en toont ons dat de Egyptenaren Pi ook bestudeerden, op zoek naar de dichtstbij mogelijke waarde. De Egyptische geleerde Ahmes zag dat een gebied van 8 vierkante eenheden op een kant bijna dezelfde waarde hebben als een cirkel met een diameter van 9 eenheden. Wiskundig gezien betekent dit (16/9)^2 of rond de 3,16.
  • 700 voor Christus: In de Indiaanse tekst Shatapatha Brahmana vinden we ook een schatting terug van Pi, gelijk aan 25/8 = 3,125. De Indiaanse wiskundigen uit de Vedic periode schatten Pi op 3.1416 via astronomische berekeningen.

Archimedes (287 tot 212 voor Christus) wordt algemeen beschouwd als de eerste die een echt nauwkeurige schatting kon maken van Pi, in zijn boek ‘Schatting van een cirkel’. Archimedes gebruikte een slimme methode en ontdekte hoe je de perimeters van een polygoon met twee keer zoveel zijden kon opmeten. Gebruikmakend van een polygoon van 96 zijden, kwam Archimedes tot de volgende schatting: 220/71 < Pi < 22/7. Pi zou dus tussen deze twee delingen in moeten liggen.

De methode van Archimedes werd 2000 jaar lang gebruikt. Niet slecht, he?

Ken je enkele van de meest bekende wiskundige vergelijkingen?

De Pi cijfers zijn duidelijker geworden dankzij Archimedes Archimedes is met zijn ontdekking over Pi veel te weten gekomen | Bron: math.psu.edu

De Waarde van Pi: de Race om Decimalen

Nadat zijn succesvolle methode was bewezen, gebruikten veel wiskundigen de methode van Archimedes om meer en meer cijfers van het getal Pi te ontdekken.

  • 5 decimalen: Liu Hui gebruikte de methode om een schatting van Pi te maken tot bijna een honderdduizendste (3e eeuw).
  • 6 decimalen: de schatting wordt bepaald tot een miljoenste (3.141592) door de wiskundige Tsu Chung Chih (5e eeuw).
  • 14 decimalen: nog steeds dankzij de ontdekking van Archimedes, presenteert de Perzische astronoom Jemshid al Kashi de eerste 14 decimalen van het getal Pi in de 15e eeuw.

In het Westen begon men pas enkele eeuwen later interesse te tonen voor het getal Pi, toen in de 17e eeuw Leonardo da Pisa Fibonacci interessante schattingen van het getal Pi aantoonde.

  • 20 tot 32 decimalen: de Duitse wiskundige Ludolph van Ceulen, wederom werkend met de theorie van Archimedes, toonde aan hoe de eerste 20 decimalen van Pi eruitzagen in 1596, daarbij gebruikmakend van polygonen met 480 biljoen (60 x 233) zijden. De eerste 32 decimalen toonde hij aan in 1615. Hij zou blij zijn als hij wist dat het getal Pi ook wel het ‘nummer van Van Ceulen’ wordt genoemd. Een beetje erkenning!

Een echt belangrijk moment in de berekening van het getal Pi was de ontdekking van dee analyse en differentiaalrekening. Veel wiskundigen, als John Wallis, Leibniz, James Stirling en Newton begrepen dat Pi niet alleen geometrisch benaderbaar was, maar ook in een serie te berekenen was.

  • Van 71 tot 100 decimalen: In 1699 weet Abraham Sharp 71 correcte decimalen van Pi te ontdekken. De grens van 100 decimalen wordt overschreden in 1706, door John Machin.

Puur vanuit wiskundige interesse is Pi nu een uitdaging voor alle wiskundigen geworden, als duidelijk toonbeeld van prestige.

  • Duizend biljoen decimalen: vandaag de dag kunnen de meest geavanceerde computers ons biljoenen getallen achter de komma geven, zodat mensen niet langer die last hoeven te dragen.

Maar de mens heeft echter onze eigen manieren bedacht om plezier te hebben met wiskunde en Pi: zoveel mogelijk decimalen op kunnen noemen.

Er bestaat zelfs een groep mensen die de eerste duizend decimalen van Pi op kan noemen (de Club van 1000). Binnen die club zijn records gevestigd, zoals die van Daniel Tammet die in 2004 22.514 decimalen achter de Pi wist op te zeggen in 5 uur.

Het huidige record staat echter op naam van een Japanner die 100.000 decimalen van Pi wist voor te dragen.

Als je dat wilt verbreken, hoef je ‘maar’ zestien en een half uur bezig te zijn!

Als Pi oneindig is, en daardoor juist zo mysterieus, is het voor iedereen binnen de wiskunde een uitdaging om met het getal bezig te zijn.

Er zijn wedstrijden en clubs opgericht rondom de decimalen achter de Pi cijfers Wie kan de meeste decimalen van Pi opnoemen | Bron: Visualhunt

De Eigenschappen van Pi Cijfers

Laten we nu eens kijken naar deze letter, waar zoveel geheimen in schuilgaan.

Want het lijkt allemaal maar weinig rationeel, nietwaar?

Pi is dan ook een irrationeel getal, wat betekent dat het niet geschreven kan worden als breul van twee hele getallen (zoals een rationeel getal).

De decimalen van het getal Pi zijn noch periodiek, noch eindig. In andere woorden, de decimalen van Pi zijn niet te voorspellen en geen computer heeft ze ooit allemaal kunnen voorspellen.

De eerste wiskundigen die de principes van deze abstracte oneindigheid ontdekten, zagen Pi zelfs als een belediging voor de alwetendheid van God!

Een transcendent getal

Pi is een transcendent getal, wat betekent dat het nooit als oplossing gebruikt kan worden voor een veeltermvergelijking met geheelcoëfficiënten.

Toch zijn er formules, zoals de Gulden Snede, die Pi aan andere wiskundige constanten binden, wat precies overeenkomt met de manier waarop de Fibonacci reeks wordt opgebouwd.

Is Pi eigenlijk een Normaal Getal?

Onderzoekers weten nog steeds niet of Pi eigenlijk een normaal getal is (een getal met een eindige reeks aan decimalen), en dat verklaart de enorme interesse die Pi altijd heeft opgeroepen.

In meer dan 4000 jaar heeft het getal nog steeds niet al zijn geheimen blootgegeven! Pi is overal! Pi is zelfs overal om je heen!

De alomtegenwoordigheid van Pi, ook buiten de wiskundeles, is zeer intrigerend voor veel onderzoekers en andere fans.

De wiskunde pi vind je overal om je heen terug Pi is overal! | Bron: Visualhunt

Pi is de limiet voor verschillende kettingbreuken, als een geneste radicaal.

Onderzoek is uitgevoerd op transcendente en irrationele getallen, dat veel te maken had met Pi, om een antwoord te vinden op de kwadratuur van de cirkel. Het is in feite onmogelijk om een vierkant te maken met een oppervlakte gelijk aan die van welke cirkel dan ook.

In statistiek en kansberekening komt Pi ook terug, zoals bij Buffon’s naaldprobleem.

Interessante feiten over Pi

Tevens interessant is dat de berekening van Pi verder gaat dan de grenzen van simpele wiskunde.

Pi bestaat overal waar een cirkel bestaat, bijvoorbeeld in een lamp, de zon, een oog en in het menselijk DNA.

Pi is zelfs aanwezig in de vergelijking van Heisenberg’s beroemde principe van onzekerheid, waarbij wordt gekeken naar ons universum.

De Pi-ramide van Cheops

Wat is de link tussen Pi en een Egyptische piramide?

Pi komt ook voor bij mythische constructies, los van constructies met cirkels.

Dat is met name het geval bij de constructie van de beroemde piramide van Cheops.

Verschillende onderzoeken tonen aan dat Pi wordt gebruikt als de ratio tussen de omtrek van de grondbasis en twee keer de hoogte van de piramide. De wiskundige ratio voor Cheops is bijna gelijk aan Pi (reken zelf de omtrekk dus eens uit!)

Was dit de intentie van de architect, of is dit puur toeval?

Waarom Pi is gebruikt bij het bouwen van piramides blijft een mysterie De piramides van Egypte hebben een sterke connectie met Pi | Bron: Visualhunt

Wiskunde en Literatuur

Voor hen die wiskunde zien als iets compleet anders dan literatuur, geldt Pi als een verbinding tussen de twee disciplines. Gedichten leren ons de eerste decimalen van Pi (127 decimalen in het volledige gedicht), dus mocht je je vrienden willen verrassen… Het idee is dat het aantal letters in elk woord overeenkomt met een decimaal van Pi. Als volgt:

Wie π voor ‘t eerst berekende

3      1     4     1    5           9

hij sterft nooit!

Wie u eens π heeft verzonnen in aloude tijden

was nooit begonnen, inderdaad spoedig geëindigd

als hij had ingezien

welk gezeur de cijfers bien

Dus Waarom die Obsessie met Pi?

Het is werkelijk historisch! Pi is altijd fascinerend geweest, en heeft door de geschiedenis heen verschillende wiskundigen misleid. Alle grootste wiskundigen zijn gefascineerd door dit symbool. Deze fascinatie is universeel en bestaat al bijna 4000 jaar.

Maar er zijn meer geheimen om ontdekt te worden! Het is een feit dat Pi nog niet al zijn geheimen heeft blootgegeven, en zo blijft het een symbool vol mysterie: een symbool dat verder gaat dan wiskunde en misschien wel de mooiste ambassadeur is van het vak.

Lang leve de wiskunde! Vaak wordt wiskunde gezien als een grimmige wetenschap waar de verbeelding geen plaats heeft, terwijl Pi deze theorie naar de prullenbak verwijst.

Pi is echt speciaal! De buitengewone eigenschappen en alomtegenwoordigheid in zowel de wetenschap als in het dagelijks leven geeft Pi een speciale status.

Delen

Onze lezers vinden dit artikel leuk
Heeft dit artikel je de informatie kunnen geven waar je naar op zoek was?

Had je hier echt helemaal niks aan?Volgende keer zullen we beter ons best doen!Oef, het gemiddelde! Niet beter dan dat?Bedankt! Stel je vragen hieronder in de comments.Het was een plezier je te kunnen helpen! :) (een gemiddelde van 2.00 van de 5 voor 1 stemmen)
Loading...

Reageer op dit artikel

avatar
wpDiscuz