Bijles
Delen

Wiskunde Raadsels en Paradoxen Over de Jaren Heen

Vertaald door Boris, gepubliceerd op 30/07/2018 Blog > Bijles > Alles over de Logica en Paradox in Wiskunde

Met al rare symbolen en letters die er bestaan, is het erg gemakkelijk om in de wiskundeles de weg kwijt te raken! Wiskunde is de grootste gemene deler in het schoolcurriculum.

Dat gezegd hebbende, zal je waarschijnlijk wel eens jaloers zijn geweest op al die genieën om je heen, die wiskundeproblemen zien als een leuk spel en de cijfers van Pi moeiteloos kunnen opdreunen.

Om het onderwerp wiskunde goed aan te pakken, treden we in hun voetsporen om wiskundige paradoxen te ontdekken en te reizen tussen rekenkunde, trigonometrie en kansberekening.

Je zal leren over de cultuur van wiskunde en van het vak te houden, en misschien word je dan zelfs wel je eigen wiskundeleraar!

Logische Paradox: een Algemene Definitie

Iedereen kan wiskunde leren! Je hebt geen masterdiploma of een wiskundig meesterbrein nodig om wiskunde te begrijpen, maar soms lijken definities wat lastig. Het begrip ‘paradox’ is niet zo ingewikkeld als bijvoorbeeld nadenken over filosofische uitspraken -maar vormt wel een soort combinatie tussen wiskunde en filosofie door betrekking te hebben op de logica.

Klinkt dit een beetje te abstract? De term paradox verwijst naar “een verklaring of propositie die, ondanks een goede redenering vanuit aanvaardbare uitgangspunten, leidt tot een conclusie die logisch onaanvaardbaar of tegenstrijdig lijkt.”

De studie van deze verschijnselen is een kunst op zich!

Er zijn veel paradoxen in de wereld die nog moeten worden opgelost. Maar er zijn er ook heel veel die we al wel begrijpen en die nuttig kunnen zijn voor ons begrip van de wereld.

Sommige kunnen gerelateerd zijn aan natuurkunde en scheikunde, andere aan wetenschap en technologie. Wiskundige problemen en paradoxen fascineren wiskundeliefhebbers. Je zou kunnen zeggen dat dit onderwerp net zo fascinerend is als Pi.

Valse Paradoxen

De Paradox van Achilles en de Schildpad

Deze paradox is een hervertelling van een fabel waar we allemaal bekend mee zijn, de haas en de schildpad. In de 5e eeuw na Christus stelde de Griekse filosoof Zeno van Elea (490 v.Chr. – 430 v.Chr.) dat als je een schildpad een voorsprong zou geven in een race tegen de Trojaanse oorlogsheld Achilles, hij nooit in staat zou zijn de schildpad in te halen. Om de schildpad in te halen moest Achilles eerst dichterbij hem komen, maar elke keer dat hij de vorige afstand van de schildpad zou hebben afgelegd, zou de schildpad een nieuwe opening hebben gecreëerd door op hetzelfde moment vooruit te bewegen. Hoe hard Achilles ook probeert in te halen, de schildpad zal altijd een nieuwe voorsprong weten te vinden, hoe klein ook.

Deze bewering lijkt natuurlijk volkomen belachelijk en contra-intuïtief, maar de beredenering klinkt logisch. Het antwoord ligt in hoe we ruimte, tijd, beweging en ideeën als oneindigheid waarnemen.

Het raadsel van de Ontbrekende Euro valt in dezelfde categorie ‘informele drogredenen’, maar hoort ook bij de tijdloze wiskunde puzzels die we allemaal kennen. Naast het feit dat je er een euro mee van de rekening af kunt snoepen, is het ook een fantastische manier om je vaardigheden met logica te trainen!

Hoewel dit een gemakkelijke paradox lijkt om te verklaren, is het wiskundig oplossen echter een ander verhaal. Als je het wel lukt, zijn je prestaties bestemd voor de Internationale Wiskunde Olympiade (IWO), de Wereldkampioenschappen Wiskunde.

Weet jij het antwoord op deze interessante paradoxen? Wiskunde logica en paradoxen bezorgen zelfs menig wiskundefan soms hoofdpijn | Bron: Visualhunt

De Paradox van het Ontbrekende Vierkant

Nee, het is geen sudokul! Het is een geometrie-spoedcursus in het land van de absurditeit.

Simpel gezegd, de paradox van het ontbrekende vierkant is een logische wiskundige hypothese die uiteindelijk berust op een visuele illusie, en ons daarmee leidt tot een onjuiste conclusie.

De paradox van het ontbrekende vierkant, die ook met een chocoladereep bestaat Hoe kan het dat er een blokje mist als de gekleurde vakken in de driehoek verschuiven?

Bij het construeren van deze driehoek met andere geometrische vormen, kunnen de vormen worden herschikt om een ​​nieuwe driehoek te maken met dezelfde hoogte en breedte, maar met een extra mysterieus hokje waar niks in past. Dus wat is er aan de hand?

Het antwoord is simpelweg … geen driehoek is een ‘ware’ driehoek. Er bestaat een lichte kromming langs de lijnen van de vormen die het menselijk oog waarneemt als een driehoek. De kleine lege ruimte is in feite alleen het gevolg van een kleine vervorming van de perfecte driehoek met zijn enigszins afgeronde randen.

Kijk bijvoorbeeld maar eens naar het punt net onder de letter A waar het rode, blauwe en gele vlak samenkomen, en dan naar dit punt in figuur B…

Theoretische maar Onlogische Paradoxen

De Banach-Tarski Paradox

Deze puur geometrische theorie werd gedemonstreerd in 1924. Het kan als volgt worden samengevat: men kan een driedimensionale bol met een oppervlakte van R^3 in een (eindig) aantal stukjes splitsen en deze vervolgens opnieuw samenvoegen tot twee ballen, die beide identiek zijn aan de eerste.

Dit klinkt vreemd om het maar op z’n zachtst te zeggen, dat kunnen we allemaal beamen. Zoiets is alleen mogelijk als deze kleine stukjes bol onmeetbaar zijn (als ze een bepaald volume zouden hebben, zou dat al een contradictie zijn).

Je kunt het vergelijken met het volgende: het aantal hele getallen op een getallenlijn is oneindig. Als je nu alleen alle even getallen zou nemen, zou je denken dat het totale aantal de helft is van het aantal hele getallen. Maar omdat elk oneven getal op de getallenlijn verdubbeld ook weer een even getal vormt, is op de even getallenlijn uiteindelijk het totaal aantal getallen… ook oneindig.

Het is wat lastig te begrijpen, maar op Youtube kun je heel veel filmpjes met uitleg vinden hierover! Een andere paradox die met oneindigheid te maken heeft is de Paradox van Hilbert’s Hotel.

De Geometrische Paradox van Von Neumann

In 1929 maakte John von Neumann zijn tijdgenoten gek.

Hij probeerde een ​​vierkant te ontbinden in een (eindig) aantal ‘verzamelingen van punten’. Vervolgens, dankzij gepolijste transformaties die hun oppervlakten behouden, kreeg hij niet twee bollen, maar twee vierkanten.

Albert Einstein was een absoluut wiskundig genie. Voor Albert Einstein was wiskunde logica de mooiste logica | Bron: Visualhunt

 

In feite bouwt deze paradox verder op de Banach-Tarski Paradox, door een figuur op te delen in ontelbare punten die een transformatie ondergaan die volume behoudt.

Het probleem dat door deze paradox aan het licht werd gebracht, stond Laczkovich in 2000 toe de ontbinding van het binnenste van een vierkante eenheid (equidistante begrensde sets) te verklaren.

De Paradox van de Kapper

Leraren op de middelbare school gebruiken deze paradox graag, omdat het het makkelijker maakt om bepaalde onderwerpen aan leerlingen te leren.

Stel dat er een regel is dat een kapper alle klanten moet scheren die zichzelf niet scheren, en geen andere klanten. De vraag is dan: scheert de kapper zichzelf?

Als hij zichzelf scheert, overtreedt hij de wet omdat hij alleen degenen moet scheren die zich niet scheren. Aan de andere kant, als hij zichzelf niet scheert, zou hij de regel niet gehoorzamen om diegenen te scheren die zich niet scheren.

Een goede manier om te laten zien hoe je het absurde rationaliseert, toch?

Russell’s antinomie, behorend tot de verzamelingenleer, legt deze paradox op een theoretische manier uit: In 1905 toonde Bertrand Russell dat het idee van een set van sets die zelf geen elementen zijn, tegenstrijdig is.

Wat als de aarde binnenstebuiten zou worden gekeerd?

Onze volgende halte is differentiële en lineaire topologie. In 1958 formuleerde Stephen Smale ‘bol inversie (of cirkelspiegeling)’. Wat is dat precies? Het proces waarbij een bol binnenstebuiten wordt gekeerd in een driedimensionale ruimte.

Gek genoeg is het mogelijk om een bol op deze manier probleemlos en in een continue beweging binnenstebuiten te keren zonder de vorm zelf te scheuren of vouwen. Dit is verrassend als je naar de algemene regels van homotopie-equivalentie kijkt, het veld dat het overgaan van een topologische ruimte in een andere bekijkt door continue vervorming.

Dit is een ‘veridical paradox’: iets dat waar is, maar op het eerste gezicht onwaar blijkt te zijn.

Met de ontwikkeling van computeranimatie hebben we nu de mogelijkheid om dit proces te tonen.

Contra-intuïtie van Dag tot Dag

De Simpson Paradox

Nee, dit heeft niets te maken met de serie op tv, die niet zoveel te maken heeft met rationele abstractie…

De statisticus Edward Simpson formuleerde deze paradox in 1951. Het gaat hier om schijnbaar tegenstrijdige data sets, simpelweg omdat er verschillende criteria worden gehanteerd.

Om een ​​voorbeeld te geven: om tegen een bepaalde ziekte te vechten, heb je de keuze uit twee behandelingen die beide twee keer zijn getest. In de eerste testbehandeling genazen bij behandeling A 63/90 mensen (70%) en bij behandeling B 8/10 mensen (80%). In de tweede test genas bij behandeling A 4/10 mensen (40%) en bij behandeling B genas 45/90 (50%).

Kijkend naar de afzonderlijke testen, lijkt het erop dat behandeling B een hoger slagingspercentage heeft. Als we echter de gegevens samenvoegen, kunnen we zien dat bij behandeling A 67/100 personen (67%) genazen en dat bij behandeling B 53/100 mensen genas (53%), wat betekent dat behandeling A de meer succesvolle behandeling is.

De schijnbare paradox van Simpson is te zien wanneer een trend in verschillende groepen wordt omgekeerd wanneer deze groepen worden gecombineerd.

Deze paradox is in veel echte toepassingen gebruikt om te laten zien hoe gepoolde resultaten verschillen van talloze afzonderlijke tests.

Wiskunde kom je overal tegen. Wiskunde blijft verbazen, zeker als het komt in de vorm van paradoxen | Bron: Visualhunt

Paradox van Condorcet (Stemparadox)

Dit idee ontwikkelde de revolutionaire wiskundige met dezelfde naam aan het einde van de 18e eeuw.

De gedachte is dat het mogelijk is dat er een stemming wordt gehouden waarbij niemand kan winnen door een meerderheid van de stemmen te behalen doordat zich een gelijkstand voordoet. De paradox zegt dat de stemming dus eigenlijk besloten kan worden door een enkele persoon die zijn of haar stem aanpast, alleen om op die manier een meerderheid te behalen en dus niet gebaseerd op daadwerkelijke voorkeur.

Deze gedachte is uiteindelijk toegepast in het Condorcet stemsysteem, waarbij kiezers hun voorkeuren rangschikken in plaats van te stemmen op een enkele kandidaat. Elke mogelijke kandidaat komt in dit systeem tegenover elkaar te staan, waarbij de algemene winnaar degene is die de voorkeur heeft boven alle anderen. Lees meer over hoe Condorcet Stemmen werkt.

In wezen biedt het Condorcet-systeem kiezers de mogelijkheid om hun echte voorkeuren uit te brengen zonder zich zorgen te maken over het verspillen van hun stem op een kandidaat met weinig of geen kans om te winnen.

Kortom, tussen paradoxen en echte wiskundige problemen loopt maar een dunne lijn. En je kunt er ook zeker plezier aan beleven!

Delen

Onze lezers vinden dit artikel leuk
Heeft dit artikel je de informatie kunnen geven waar je naar op zoek was?

Had je hier echt helemaal niks aan?Volgende keer zullen we beter ons best doen!Oef, het gemiddelde! Niet beter dan dat?Bedankt! Stel je vragen hieronder in de comments.Het was een plezier je te kunnen helpen! :) (Beoordeel als eerste dit artikel)
Loading...

Reageer op dit artikel

avatar
wpDiscuz